学习笔记

The map of Control Theory v5 简析 学习控制理论可以说经常可以看到Brian Douglas的The Map of Control Theory ，如下图所示。在感慨控制理论的博大精深的同时，我也想试着了解一下具体都是哪些内容。其中大部分内容我还没有学过，所以不一定对，仅供参考。 可以看出 map 包括一个圆和周边的 5 个区域，五个区域分别为 建模与仿真(modeling & simulation) 系统分析(system analysis) 控制方法(control methods) 规划(planning) 状态估计(state estimation) 位于中心的圆 首先，看图片中心的圆， 圆的中心是可以视为控制理论起源的离心式调速器（centrifugal governor，又称瓦特调速器或飞球调速器） 调速器上方是经典的反馈控制系统（又叫闭环控制系统），下方是前馈控制器。 圆周左半边是连续(continuous)控制系统和离散(discrete)控制系统， D2C 即离散系统转化为连续系统，通常使用保持器 C2D 即连续系统转化为离散系统，通常使用采样器 圆周右半边，是分析控制系统的域(domain) 右上为时间域(time) 右下为频率域(frequency)（严格来说，应该叫复频域） 两者之间可以通过拉普拉斯变换(Laplace Transform)进行转化 建模与仿真 位于右下角的是建模与仿真模块(modeling & simulation)，这里讨论如何对控制系统建立模型（通常为数学模型）并进行仿真。 经典控制理论中的数学模型通常为传递函数(transfer function)。现代控制理论中有线性状态空间(linear state space)方程，以及非线性状态空间(nonlinear state space)方程，可以从表达式中看出，非线性的状态空间方程右侧无法用线性函数表示出来。 此外还有混杂系统(hybrid system)，通常指同时包含连续和离散动态特性的系统。 在仿真(simulation)部分，有方框图(block diagrams)、 系统辨识(system id or system identification)：根据输入输出数据辨识出系统的表达式 最小实现(minimum realization or minimal realization)：用状态最少的状态空间方程来实现传递函数，使得输入输出关系相同 线性化(linearization)：模型线性化 First principles：这个我不懂，应该就是指机理建模，或者叫做分析法建模，与之相对应的是实验法建模 系统分析 位于正下方的是控制系统分析(system analysis)部分，控制系统可以从下列角度分析 ...

控制理论概览 大三学习了《自动控制原理》、《计算机控制系统》、《现代控制理论》，对控制理论有了一个很粗略的了解，整理如下 线性时不变连续系统 域 数学模型 分析与判断稳定的方法 （性能）指标 其他 时域 微分方程 赫尔维茨稳定判据、劳斯稳定判据 稳定性：稳态误差；准确性：调节时间、超调量；快速性：上升时间、峰值时间 复频域 传递函数 负实部、左半平面 阻尼比，衰减系数，阻尼振荡频率 根轨迹法 频域 频率特性 奈奎斯特稳定判据 稳定裕度、频带宽度 系统校正 状态空间 状态空间方程 李雅普诺夫方法 能控性，能观性 状态反馈（极点配置）、状态观测、调节器设计 等 数学模型常常也包括：结构图和信号流图 线性时不变离散系统 域 数学模型 分析与判断稳定的方法 （性能）指标 其他 时域 差分方程 朱利判据、w 变换 稳定性：稳态误差；准确性：调节时间、超调量；快速性：上升时间、峰值时间 复频域 脉冲传递函数 幅值小于 1、单位圆内 根轨迹法 频域 频率特性 离散系统奈奎斯特稳定判据 稳定裕度 系统校正 状态空间 状态空间方程 李雅普诺夫方法 能控性，能观性 状态反馈（极点配置）、状态观测、调节器设计 等 离散控制系统的经典设计方法（连续域——离散化、直接离散域）等

📶 三大变换的数学推导过程 $\mathscr{F,L,Z}$傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换这三大变换讨论广泛1。个人理解，这三个变换都是为了简化一些难以在时间域分析的问题而引入的。 拉普拉斯变换是对傅里叶变换的推广，忽略了时域信号时间为负的部分，使得变换也可以适用于$t\rightarrow +\infty$不为零的信号 Z 变换是拉普拉斯变换针对离散信号的简化，使得表达式更加便于分析 傅里叶变换 拉普拉斯变换 $Z$变换 表达式 $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} t$ $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$ $F(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$ 适用范围 狄利克雷条件 狄利克雷条件的前两条 前者+（时间）离散 变换域 频域 复(频)域 $Z$域 对应系统模型 频率特性 传递函数 脉冲传递函数 数学演变过程 周期函数的傅里叶级数 周期为 T 的任一周期函数$f(t)$，若满足下列狄利克雷条件(Dirichlet conditions2）： 在一个周期内只有有限个不连续点 在一个周期内只有有限个极值点(注：函数连续是条件 1、2 的充分非必要条件) 周期内绝对可积：积分$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |f(t)| \mathrm{d}t$ 存在 则$f(t)$可展开为如下的傅里叶级数： $$ f(t)=\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos{n\omega_0 t}+b_n\sin{n \omega_0 t}) $$式中，系数$a_n$和$b_n$由欧拉—傅里叶系数公式给出，其中$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$称为角频率。 $$ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=0,1,2,\dots,\infty $$$$ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=1,2,\dots,\infty $$推导3：分别对$f(x),f(x)\cos kx, f(x)\sin kx$在周期$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上积分。 ...

线性定常系统的重要特性引发的思考 女朋友在阅读胡寿松第六版《自动控制原理》时有一个困惑。为什么书中 P71 页表 3-2 中的阶跃信号1，求导之后消失了，而不是作为单位脉冲信号$\delta(t)$处理。难道这里的1视为常数，这样就与零初始条件矛盾了。 书中的表 3-2 一阶系统对典型输入信号的输出响应如下： 输入信号 输出响应 $1(t)$ $1-e^{-t/T}, t \ge 0$ $\delta(t)$ $\frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0$ 书中由此得出线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对输入信号响应的导数。 也就是说第二行脉冲响应应该是第一行阶跃响应的导数，但是这里为什么1对应的导数$\delta(t)$没有了呢？ 答：因为后面的指数项$e^{-t/T},t \ge 0$，在零初始条件下还需要乘以一个$u(t)$，根据求导的乘法公式求导之后会出现一个$\delta(t)$，从而相互抵消。 将阶跃响应写成如下形式： $$ 1-e^{-t/T}(t \ge 0)=1(t)-e^{-t/T}\times 1(t) $$对阶跃响应求导： $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [&1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)] \\ =&\delta(t)- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{-t/T}1(t)] \\ =&\delta(t)- [\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-t/T}\times1(t)+e^{-t/T}\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 1(t)] \\ =&\delta(t) -[-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+e^{-t/T}\times \delta(t)] \\ =&\delta(t)- [-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+\delta(t)] \\ =&\frac{1}{T}e^{-t/T}\times1(t) \end{aligned} $$结果即为$\frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0$。 一般化 已知线性定常系统的零初始条件下的阶跃响应为$h(t), t\ge 0$，求解系统传递函数. 拉式变换法 输入和输出的拉氏变换后的象函数分别为 $$ R(s)=\frac{1}{s},C(s)=H(s) $$于是传递函数可以写成： ...