经典滑模控制趋近律收敛性的理解
本文部分参考AI内容，仅作为个人理解使用，严谨分析请查阅相关文献
在经典的滑模控制中，考虑问题
$$ \ddot{e}(t)=u(t)+\delta(t) $$其中，$e(t)$为系统的误差， $u(t)$为控制输入， $\delta(t)$为系统的有界扰动，定义$\bar{\delta}=\sup_t\|\delta(t)\|$，这里$\sup$表示上确界，即扰动的范数（此处为标量系统即为绝对值）的最大值。 滑模控制的核心思想之一是降阶，将原来的一个二阶系统转换为两个一阶子系统（分别对应两个阶段）。 经典的滑模控制中，首先设计一个滑模面$s(t)=\dot{e}(t)+a e(t)$, 其中$a>0$。 所设计的控制律为：
$$ u(t)-k\operatorname{sgn}(s)-a \dot{e}(t) $$从系统的轨线的角度，如下图，整个闭环系统的过程可以分为两个阶段：
- 趋近阶段：首先在有限时间上收敛到所设计的滑模上，其动态为公式(eq 1)，包含扰动
- 滑动阶段：再在滑模面上收敛到期望的平衡点，其动态为$\dot{e}=-a e(t)$，不含扰动。
针对这两个阶段有这些值得关注的：
- 趋近律中的$\operatorname{sgn}(e)$函数，在标量的情况（本文）通常选取符号函数，在多维向量的情况有两种表达，一种是逐元素的定义，一种为基于范数的定义，如果使用的是二范数，那么表示向量的单位向量。由于符号函数是非连续函数，系统会有震颤chattering的问题，于是有了减少和抑制震颤的一些方案：
- 减少震颤：通常为用连续的函数替代sign，这样会牺牲收敛精度，一般称作边界层法（boundary layer），即不再收敛到滑模面$s=0$而是收敛到这个滑模面的一定距离的边界内；
- 抑制震颤：主流为使用高阶滑模，这样会牺牲部分抗扰的能力。如使用二阶滑模算法，通常只能抵抗导数有界的扰动。
- 这里的滑动阶段使用的是线性滑模，所以系统状态渐进收敛，如果需要有限时间收敛，可以使用终端滑模$s=\dot{e}+|e|^{\alpha}\operatorname{sgn}(e)$, $0<\alpha<1$。但是终端滑模会有歧义的问题，改进方案有非奇异终端滑模。
- 图片中这是经典的相轨迹图，在横轴上方$\dot{e}(t)>0$，$e(t)$增加，系统状态向右变化，反之，在横轴下方$\dot{e}(t)<0$，$e(t)$减少，系统状态向左变化，系统总体有一个顺时针变化的趋势。线性滑模的线性在图中体现为$s=\dot{e}(t)+a e(t)$为一条直线，斜率$-a$为负，保证系统稳定。在直线上方满足$s>0$在直线下方满足$s<0$.
到达阶段的系统其实就是一个线性系统，不存在扰动了，现代控制理论或者经典控制理论都可以很容易地分析。
但是趋近阶段有sign函数和扰动函数，这是一个时变非连续系统，系统不能再经典意义下理解。
常见的趋近阶段分析方法
一般网上的教程分析趋近阶段都是采用这样一个Lyapunov函数：
$$ V=\frac12 \|s\|^2 $$对这样的函数求导可得：
$$ \begin{aligned} \dot{V} &=s\dot{s}=s\left(-k\operatorname{sgn}(s)+\delta(t)\right)\\ &=-k\|s\|+s\delta \leq -k\|s\|+\|s\| \|\delta\|\\ &\leq -(k-\bar{\delta})\|s\| \end{aligned} $$这里使用了条件$\sup_t\|\delta(t)\|< \bar{\delta}$. 于是我们应用Lyapunov 定理得到$s\to 0$.
实际滑模控制中，滑动阶段是有限时间内的，所以还需要证明$s$在有限时间内收敛到零。 刚刚的分析，我们可以得到：
$$ \dot{V}=\frac{dV}{dt}\leq-(k-\bar{\delta})\sqrt{2V} $$为了求解该标量微分方程的解，我们需要对$V$分情况讨论。
情况一：当$V\neq 0$时，可以通过分离变量可得：
$$ V^{-1/2}dV\leq-(k-\bar{\delta})\sqrt{2}dt $$同时积分得：
$$ 2V^{1/2}(t)-2V^{1/2}(0)\leq-(k-\bar{\delta})\sqrt{2}t $$从这个式子可以看出，最晚在$t=\frac{2V^{1/2}(0)}{(k-\bar{\delta})\sqrt{2}}$的时候，系统的$V(t)$收敛到零。
情况二：当$V=0$时，显然$\dot{V}=0$，此后$V$恒等于零。
综上所述，$V=\frac12 \Vert s \Vert^2$在有限时间收敛到零，在此时间后$V$保持为零。 Barbalat’s Lemma 告诉我们当$s\to 0$ 的时候，如果$\dot{s}$是一致连续的，那么有$\dot{s}\to 0$。 这里显然不满足该一致连续的条件。
那么，在有限时间$s$ 收敛到$0$后，是否有$\dot{s}$也收敛到零呢？ 如果$\dot{s}$也收敛到零，是否意味着$k\operatorname{sgn}(x)$收敛到扰动$\delta(t)$呢？
扰动是被sign函数抵消了吗？
在滑模控制的书籍中，通常会提到一个概念等效控制，会提到$\dot{s}$有限时间在平均意义下收敛到零。 一直以来，我不理解这句话的具体含义，结合chatgpt等的分析，这里试图解释以下： 对于上午提及的滑动阶段的系统方程：
$$ \dot s = -k \operatorname{sgn}(s) + \delta(t) $$在经典解的理解下，从逐点角度（pointwise）分析：
- $\operatorname{sgn}(s) \in \{-1,+1\}$
- $\delta(t) \in [-\bar{\delta},\bar{\delta}]$ 因此显然有： $ \operatorname{sgn}(s) \neq \delta(t) \quad \text{for almost all } t $ 确实，两者不相等。 但这并非滑模控制理论所主张的结论。
在系统的Filippov解意义下，系统的解应该满足微分包含方程
$$ \dot s = \begin{cases} -k + \delta(t), & s>0 \\ +k + \delta(t), & s<0 \end{cases} $$在 $s=0$ 处，Filippov定义：
$$ \dot s \in \operatorname{co}\{-k+\delta(t), k+\delta(t)\} $$这里的$ \operatorname{co}$表示集合内部元素组成的凸包，对于本文的场景可以理解为这两个点练成的线段上的所有点的集合，也就是： 当$s=0$时， $\dot s \in [-k+\delta(t), k+\delta(t)]$. 显然，$\dot s = 0$满足这个区间，也就是说$\dot s = 0$是微分包含系统在 $s=0$ 处的一个可接受Filippov速度。 这保证了滑模运动的存在性。
实际的控制信号仍然是：
$$ -k\operatorname{sgn}(s(t)) \in \{-k,+k\} $$但在滑模阶段：$s(t)$ 围绕0做无穷快振荡；$\operatorname{sgn}(s(t))$ 做无穷快切换。 时间平均满足：
$$ \langle k\operatorname{sgn}(s) \rangle = \delta(t) $$- 📌 这不是逐点收敛，而是弱（平均）收敛。
- 📌 This is not pointwise convergence, but weak (averaged) convergence.
从物理直觉上理解，可以理解为占空比调制(duty cycle modulation):
- 当 $\delta (t) > 0$ 时：$s>0$ 的持续时间更长
- 当 $\delta (t) < 0$ 时：$s<0$ 的持续时间更长
两侧的时间占比会自动调整，使得：
$$ k\operatorname{Sgn}\text{的平均切换效应} = \delta(t) $$通常，理解为可以使用一个低通滤波器将信号$k\operatorname{sgn}(s)$滤波后近似等于$ \delta(t)$.
小节：在滑模中，不连续项并非逐点收敛到扰动；其平均效应抵消了扰动，这一过程由Filippov凸化方法描述。
Fillipov意义下的趋近阶段分析方法
基于上面的分析，在学术论文中通常会说系统需要在 Filippov 意义下理解。 直观来说，原来的经典解是需要找满足(eq 1)这个微分方程的$s(t)$。 而Filippov 意义下的解则为需要满足(eq 1)对应的Filippov微分包含的$s(t)$。 该微分包含定义为(eq 2)
$$ \dot{s}\in -k \operatorname{Sgn}(s)+\delta(t) $$其中
$$\operatorname{Sgn}(s)=\begin{cases} \{-k\} & s>0\\ [-k,k] & s=0\\ \{k\} & s<0 \end{cases} \tag{eq 2} $$对于系统$\dot{x}=X(x)$，其经典解和Filippov解的对比如下表所示， 对于函数$\operatorname{sgn}(x)$其显然不是一个关于$x$连续的函数，因此其不存在连续可微的经典解。
| 类型 | 解的性质 | 存在性条件 | 唯一性条件 |
|---|---|---|---|
| 经典解 | 连续可微 | \( X: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d \) 连续 | 在 \( B(x,\varepsilon) \) 上本质单边Lipschitz¹ |
| Filippov解 | 绝对连续 | \( X: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d \) 可测且局部本质有界 | 命题4&5 |
对于这样的微分包含系统(eq 2)使用Lyapunov 方法分析，需要使用广义导数，记为$\dot{\tilde{V}}$。 其与原始微分方程系统(eq 1)的关系为：$\dot{V}\in\dot{\tilde{V}}$。 所选取的Lyapunov 函数仍然是上面的$V$，其广义导数为：
$$ \begin{aligned} \dot{V}=s\dot{s}\in\dot{\tilde{V}} &=s\left(-k\operatorname{Sgn}(s)+\delta(t)\right)\\ &=-k\|s\|+s\delta \leq -k\|s\|+\|s\| \|\delta\|\\ &\leq -(k-\bar{\delta})\|s\| \end{aligned} $$此后$s$有限时间收敛的分析方法与常见的分析方法一样，Filippov 的方法主要是解释了$\dot{s}$的收敛性问题。
齐次度系统的讨论
上面通过Lyapunov 的方法讨论了趋近阶段有限时间收敛的问题，在文献通常还会利用齐次系统的理论来分析趋近过程，证明有限时间收敛的问题。
对于系统$\frac{\partial s}{\partial t}\in -k\operatorname{Sgn}(x)$， 使用一组变量$(\kappa^m x, \kappa^n t)$替换掉$(x,t)$，可以知道当$m=1$，$n=1$的时候，这个微分包含表达式仍然成立。 通常这里记$x$的齐次度为$\operatorname{deg}(x)=1$，系统的齐次度为$-\operatorname{deg}(t)=-1$. （这里$x$的齐次度可以任意取整数值，对应系统的齐次度即时间$t$的齐次度的相反数，具体定义可参考wikipedia）。
在齐次系统中有负齐次度的系统的如果渐近稳定，那么其也有限时间稳定。 上面使用Lyapunov 方法已经分析了系统渐近稳定，那么即可找到集合$D_1$，$D_2$和时间$T$，使得对于所有从$D_1$开始的系统状态最终都会收敛到$D_2$，并且$t>T$后系统始终在$D_2$内部。 此处考虑一维标量情况，记$D_1=[-d_1,d_1]$ 和$D_2=[-d_2,d_2]$。 任意的状态$x\in D_1$，将在时间$T$内收敛到$D_2$内。 令$x=\kappa \chi$，也就有任意的状态$\kappa \chi\in D_1$，将在时间$T$内收敛到$D_2$内。 也就是说：任意的状态$\chi \in [-d_1/\kappa,d_1/\kappa]$，将在时间$T/\kappa $内收敛到$D'=[-d_2/\kappa,d_2/\kappa]$内。 令$\kappa=d_1/d_2$，可知任意的状态$\chi \in [-d_2,d_2]$，将在时间$ d_2/d_1 T$内收敛到$D_3=[-d_2^2/d_1,d_2^2/d_1]$内。 于是，我们知道最终的收敛时间为$T_{1}=T+Tq+Tq^2+\dots=T/(1-q)$, 其中$q=d_2/d_1$.
小结
本文通过经典二阶双积分模型的滑模控制案例，讨论滑模的趋近阶段的有限时间收敛性质， 阐述非光滑控制中常见的Filippov解，等效控制，齐次度系统等理论。