YAMAMOTO Y, YUN X, 1992. Coordinating locomotion and manipulation of a mobile manipulator[C/OL]//[1992] Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control. 2643-2648 卷3. DOI:10.1109/CDC.1992.371337.

非完整系统

系统方程

考虑m个双边约束下具有n个广义坐标q的机械系统，其动力学方程可以通过欧拉拉格朗日方程

$$ M(q)\ddot{q}+V(q,\dot{q})=E(q)\tau-A^T(q)\lambda \tag{1} $$

确立， 其中$M(q)$是$n\times n$的惯性矩阵， $V(q,\dot{q})$是关于位置和速度的阻力向量， $E(q)$是$n\times r$的输入转换矩阵， $\tau$是$r$维输入向量， $A(q)$是$m\times n$的雅克比矩阵， $\lambda$是约束力向量。 该机械系统的$m$个约束方程可以写成

$$ C(q,\dot{q})=0. $$

如果其中的一个约束方程可以写成， 或者通过积分可以转化为$C_i(q)=0$的形式，那么该约束是完整约束。 否则，该约束为动力学约束（非几何约束），一般称为非完整(nonholonomic)约束。

假设有$k$个完整的以及$m-k$个非完整的独立约束，他们都可以写成

$$ A(q)\dot{q}=0 \tag{3} $$

的形式。

令$s_q(q),\cdots,s_{n-m}(q)$为$A(q)$的零空间中的光滑并且线性不相关的向量场，i.e.

$$ A(q)s_i(q)=0, \quad i=1,\dots, n-m $$

令$S(q)$为由这些向量组成的满秩矩阵

$$ S(q)=[s_1(q)\ \cdots\ s_{n-m}(q)] $$

令$\Delta$为这些向量场张成的分布

$$ \Delta=span \{s_1(q), \cdots, s_{n-m}(q)\} $$

因此，$\dot{q}\in\Delta$。 我们无法确定$\Delta$是否对合(involutive)。 可以令$\Delta^$为包含$\Delta$的最小的对合分布。 可知$dim(\Delta)\leq dim(\Delta^)=k$。

G. Campion 1991发现共由三种情况

  1. $k=m$，所有的约束都是完整的，$\Delta$自身就是对合的
  2. $k=0$，所有的约束都是非完整的，$\Delta*$为整个空间
  3. $0<k<m$，$k$个约束是可积的，并且广义坐标的$k$个分量可能可以被运动方程消去。这种情况下$dim(\Delta^*)=n-k$

状态空间表达

考虑由(1)(3)定义与约束的系统， 由于受约束的速度总是在$A(q)$的零空间中， 可以定义$n-m$个速度$v(t)=[v_1\ v_2\ \cdots \ v_{n-m}]$使得

$$ \dot{q}=S(q)v(t) \tag{5} $$

这些速度需要是不可积的。 对(5)微分，并代入(1)中的$\ddot{q}$，同时前乘$S^T$

$$ S^T (MS \dot{v}(t)+M\dot{S}v(t)+V)=S^T E \tau $$

选取状态量$x=[q^T\ v^T]^T$，可得

$$ \dot{x}=\begin{bmatrix} Sv \\ f_2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 \\ (S^T M S)^{-1} S^T E \end{bmatrix}\tau $$

其中，$f_2=(S^T M S)^{-1} (-S^T M \dot{S} v-S^T V)$。 假设执行器的输入数量大于或等于机械系统的自由度($t\geq n-m$) 并且$(S^T M S)^{-1} S^T E$的秩为$n-m$， 我们可能可以应用非线性反馈

$$ \tau=\left((S^T M S)^{-1} S^T E\right)^+(u-f_2) $$

其中上标$+$表示矩阵的广义逆。 于是状态方程可以简化为

$$ \dot{x}=f(x)+g(x)u,f(x) =\begin{bmatrix}S(q)v\\0\end{bmatrix}, g(x)=\begin{bmatrix}0\\I\end{bmatrix}, $$

控制属性

定理1: 非完整系统(10)是可控的

定理2：非完整系统的平衡点$x=0$，通过一个光滑的状态反馈控制，可以使其拉格朗日稳定， 但是无法使其渐近稳定。

余下的部分，我们考虑公式(3)同时包含完整约束以及非完整约束的情况。

定理3：如果系统(10)存在至少一个约束是非完整的，那么它不是可以通过状态反馈可以输入状态可线性化的

证明：系统如果输入状态可线性化，需要满足两个条件，可以发现对合条件并不满足。

  1. the strong accessibility condition
  2. the involutivity condition

定义一组分布

$$ D_j = span \{ L^i_f g | i=0,1,\dots,j-1\}, j=1,2,\dots $$

对合性要求$D_1,D_2,\dots,D_{2n-m}$都是对合的。 注意系统的状态数为$2n-m$。 由于$g$是常数，所以$D_1=span{g}$是对合的。 下面计算

$$ L_fg=[f,g]= \frac{\partial g}{\partial x}f -\frac{\partial f}{\partial x}g =-\begin{bmatrix}S(q)\\0\end{bmatrix} $$

由于由$S(q)$的列张成的分布$\Delta$不是对合的， 分布$D_2=span{g,L_fg}$不是对合的。 因此，系统不是输入-状态可线性化的。 $\blacksquare$

尽管带有非完整约束的系统不是输入-状态可线性化的， 如果选取合适的输出方程，他是可以输入-输出线性化的。 考察系统的位置控制，也就是说输入方程只关于位置量$q$。 既然系统的自由度数为$n-m$，我们可能至多有$n-m$个独立的位置输出方程。

$$ y=h(q)=[h_1(q)\ \cdots \ h_{n-m}(q)] \tag{11} $$

可以输入输出线性化的充要条件为解耦矩阵满秩 ref20。 使用(11)的输出方程，系统的解耦矩阵$\Phi(x)$是$(n-m)\times (n-m)$的矩阵

$$ \Phi(q)=J_h(q)S(q) $$

其中$J_h=\frac{\partial h}{\partial q}$是一个$(n-m)\times n$的Jacobian矩阵。 当$J_h$的行与$A(q)$独立的时候，$\Phi(x)$ 是非奇异的

为了刻画零动态并且实现输入-输出线性化，引入新的状态变量$z$

$$ z=T(x)=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}h(q)\\L_f h(q)\\\tilde{h}(q)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}h(q)\\\Phi(q) v\\\tilde{h}(q)\end{bmatrix} $$

其中$\tilde{h}(q)$是可以使$[J_h^T,J_{\tilde{h}}^T]$满秩的m维函数。 可以验证$T(x)$是微分同胚并且是一个合理的状态变换。 新的状态$z$下的系统为：

$$ \dot{z}_1=\frac{\partial h}{\partial q} \dot{q}=z_2 $$

$$ \dot{z}_2=\dot{\Phi}(q) v + \Phi(q) u $$

$$ \dot{z}_3=J_{\tilde{h}}S v = J_{\tilde{h}}S(J_h S)^{-1} z_2 $$

使用如下的状态反馈

$$ u=\Phi^{-1}(q)(v-\dot{\Phi}(q)v) $$

我们实现了输入-输出线性化，同时实现了输入-输出解耦。 系统的可观测部分为

$$ \dot{z}_1=z_2,\quad \dot{z}_2=v \quad y=z_1 $$

系统的不可观测部分为：（代入$z_1=0$和$z_2=0$）

$$ \dot{z}_3=0 $$

这个系统显然是Lagrange稳定的但是不是渐近稳定。