📶 三大变换的数学推导过程

F,L,Z\mathscr{F,L,Z}傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换这三大变换讨论广泛1。个人理解，这三个变换都是为了简化一些难以在时间域分析的问题而引入的。

  • 拉普拉斯变换是对傅里叶变换的推广，忽略了时域信号时间为负的部分，使得变换也可以适用于t→+∞t\rightarrow +\infty不为零的信号
  • Z 变换是拉普拉斯变换针对离散信号的简化，使得表达式更加便于分析
傅里叶变换拉普拉斯变换ZZ变换
表达式F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} tF(s)=∫0∞f(t)e−stdtF(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}tF(z)=∑k=0∞f(kT)z−kF(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}
适用范围狄利克雷条件狄利克雷条件的前两条前者+（时间）离散
变换域频域复(频)域ZZ域
对应系统模型频率特性传递函数脉冲传递函数

数学演变过程

周期函数的傅里叶级数

周期为 T 的任一周期函数f(t)f(t)，若满足下列狄利克雷条件(Dirichlet conditions2）：

  1. 在一个周期内只有有限个不连续点
  2. 在一个周期内只有有限个极值点(注：函数连续是条件 1、2 的充分非必要条件)
  3. 周期内绝对可积：积分∫−T2T2∣f(t)∣dt\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |f(t)| \mathrm{d}t 存在

则f(t)f(t)可展开为如下的傅里叶级数：

f(t)=12a0+∑n=1∞(ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t) f(t)=\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos{n\omega_0 t}+b_n\sin{n \omega_0 t})

式中，系数ana_n和bnb_n由欧拉—傅里叶系数公式给出，其中ω0=2πT\omega_0=\frac{2\pi}{T}称为角频率。

an=2T∫−T2T2f(t)cos⁡nω0tdt,n=0,1,2,…,∞ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=0,1,2,\dots,\infty bn=2T∫−T2T2f(t)sin⁡nω0tdt,n=1,2,…,∞ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=1,2,\dots,\infty

推导3：分别对f(x),f(x)cos⁡kx,f(x)sin⁡kxf(x),f(x)\cos kx, f(x)\sin kx在周期[−T2,T2][-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]上积分。

傅里叶级数的指数形式

周期函数f(t)f(t)的傅里叶级数还可以写成复数形式（指数形式）：

f(t)=∑n=−∞∞αnejnω0t f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \alpha _n e^{jn\omega_0 t} αn=1T∫−T2T2f(t)e−jnω0tdt \alpha_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d} t

推导：运用欧拉公式eiθ=cos⁡θ+sin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta + \sin \theta

非周期函数的傅里叶积分式子

对于非周期函数，可以认为周期T→∞T\rightarrow \infty，此时ω0=2πT→0\omega_ 0=\frac{2\pi}{T}\rightarrow 0，为了方便讨论可以将nω0n\omega_0记为ω\omega，Δω=(n+1)ω0−nω0=ω0\Delta \omega=(n+1)\omega_0-n\omega_0=\omega_0，那么傅里叶级数可以写成如下形式：

f(t)=∫−∞∞αnejωtdω,αn=Δω2π∫−T2T2f(t)e−jωtdt f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \alpha _n e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega, \alpha_n=\frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t

合并为

f(t)=∑n=−∞∞Δω2π[∫−∞∞f(t)e−jωtdt]ejωt=12π∑n=−∞∞[∫−∞∞f(t)e−jωtdt]ejωtΔω=12π∫−∞∞[∫−∞∞f(t)e−jωtdt]ejωtdω \begin{aligned} f(t)=&\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta\omega}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \\ =&\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \Delta \omega \\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega \end{aligned}

将中括号中的内容记作F(ω)F(\omega)即为傅里叶变换式。

傅里叶变换

对于非周期函数，如果满足狄利克雷条件（第三条相应改为∫−∞∞∣f(t)∣dt\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)| \mathrm{d}t），可以进行傅里叶变换：

F(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−jωtdt F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} t f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫−∞∞F(ω)ejωtdω f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega

拉普拉斯变换

狄利克雷条件的第三个可积条件，要求函数在t→∞t\rightarrow \infty时收敛，而现实中大量信号不满足该条件，为了解决该问题，引入衰减因子e−σt,σ>0e^{-\sigma t},\sigma>0，并只考虑t≥0t\ge 0的部分4，这样函数f(t)e−σtf(t)e^{-\sigma t}在t>0t > 0下便可以满足可积条件。

于是有：

Fσ(ω)=F[f(t)e−σt]=∫−∞∞f(t)e−σte−jωtdt F_\sigma(\omega) =\mathscr{F}[f(t)e^{-\sigma t}] =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}\mathrm{d} t

记s=σ+jωs=\sigma+j\omega，F(s)=Fσ(s−σj)=Fσ(ω)F(s)=F_\sigma(\frac{s-\sigma}{j})=F_\sigma(\omega)，并认为t<0t<0时，函数为零，于是有：

F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t f(t)=L−1[F(s)]=12πj∫σ−j∞σ+j∞f(t)estdt f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]= \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma + j\infty} f(t) e^{st} \mathrm{d} t

Z 变换

现实中的信号都可以认为是连续模拟信号，而处理时通常需要将其采样成离散信号。

通常记f(t)f(t)为连续型号，f⋆(t)f^\star(t)为其对应的连续信号，对于理想采样情况，采样信号为$$，于是

f⋆(t)=f(t)×∑k=0∞δ(t−kT)=∑k=0∞f(kT)δ(t−kT) f^\star(t) =f(t)\times \sum\limits_{k=0}^{\infty}\delta(t-kT) =\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT)

对采样后的离散信号，进行拉普拉斯变换

F⋆(s)=L[f⋆(t)]=∫0∞f⋆(t)e−stdt=∑k=0∞f(kT)e−skT \begin{aligned} F^\star(s)&=\mathscr{L}\left[ f^\star(t)\right] =\int_0^\infty f^\star(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty} f(kT) e^{-skT}\\ \end{aligned}

可见 F⋆(s)F^\star(s)是 s 的超越函数5（指数函数），难以使用分析。 故引入变量z=esTz=e^{sT},s=1Tlnzs=\frac{1}{T}lnz

F(z)=F⋆(s)∣_s=1Tlnz=∑_k=0∞f(kT)z−k F(z)=F^\star(s)|\_{s=\frac{1}{T}lnz} =\sum\limits\_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}

于是便得到 Z 变换的表达式（是 z 的幂函数）。

  1. https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/26047106 ↩︎

  2. 又叫傅里叶级数收敛条件，百度百科 wikipedia ↩︎

  3. 赵洪牛.《高等数学》第二版 下册 P222 ↩︎

  4. 在控制系统等领域，经常忽略t<0t<0的部分，用J Pan的话来说，小于零的部分是哲学家考虑的问题 ↩︎

  5. 超越函数 百度百科 ↩︎