控制系统中的分离原理
控制理论中的分离原理 （一）线性系统状态空间模型下的分离 系统模型 考虑一个线性时不变系统，其状态空间方程通常表示为： $\dot{x}=Ax + Bu$（连续时间系统状态方程，其中$x$是状态向量，$A$是系统矩阵，$B$是输入矩阵，$u$是输入向量） $y = Cx+Du$（系统输出方程，$C$是输出矩阵，$D$是前馈矩阵） 观测器设计与分离 当系统状态$x$不能全部直接测量时，需要设计观测器来估计状态。全阶观测器的方程为： $\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x})$（其中$\hat{x}$是估计的状态向量，$L$是观测器增益矩阵） 定义状态估计误差$e=x - \hat{x}$，对其求导可得： $\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}=(Ax + Bu)-(A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x}))$ 因为$y = Cx+Du$，代入上式化简得： $\dot{e}=(A - LC)e$ 这里通过定义误差将系统真实状态和估计状态分离开来。通过选择合适的观测器增益$L$，可以使误差系统渐近稳定，即$\lim_{t\rightarrow\infty}e(t) = 0$。这样就实现了在状态估计过程中，将状态估计问题和系统状态本身的动态特性分离开来进行分析。 （二）使用高增益观测器的非线性系统的分离原理 以下为Nonlinear Systems 第14.5.2节呈现的高增益观测器。 假设$\dot\chi = f(\chi)$的原点是渐近稳定的，并且$\mathcal{R}$是它的吸引域。 令$\mathcal{S}$为$\mathcal{R}$内部的任意紧集，且令$\mathcal{Q}$为$\mathbb{R}^\rho$的任意紧子集。 那么，给定任意的$\mu > 0$，存在依赖于$\mu$的$\varepsilon^* > 0$以及$T^* > 0$，使得对于每一个满足$0 < \varepsilon \leq \varepsilon^*$的$\varepsilon$，闭环系统以$\mathcal{S} \times \mathcal{Q}$内为起始点的解$(\chi(t), \hat{x}(t))$对于所有$t \geq 0$都是有界的，并且满足 $$ \|\chi(t)\| \leq \mu \text{ 且 } \|\hat{x}(t)\| \leq \mu, \quad \forall t \geq T^* $$$$ \|\chi(t) - \chi_r(t)\| \leq \mu, \forall t \geq 0 $$ 其中$\chi_r$是从$\chi(0)$出发的$\dot\chi = f(\chi)$的解。 ...