数学推导

📶 三大变换的数学推导过程 $\mathscr{F,L,Z}$傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换这三大变换讨论广泛1。个人理解，这三个变换都是为了简化一些难以在时间域分析的问题而引入的。 拉普拉斯变换是对傅里叶变换的推广，忽略了时域信号时间为负的部分，使得变换也可以适用于$t\rightarrow +\infty$不为零的信号 Z 变换是拉普拉斯变换针对离散信号的简化，使得表达式更加便于分析 傅里叶变换 拉普拉斯变换 $Z$变换 表达式 $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} t$ $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$ $F(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$ 适用范围 狄利克雷条件 狄利克雷条件的前两条 前者+（时间）离散 变换域 频域 复(频)域 $Z$域 对应系统模型 频率特性 传递函数 脉冲传递函数 数学演变过程 周期函数的傅里叶级数 周期为 T 的任一周期函数$f(t)$，若满足下列狄利克雷条件(Dirichlet conditions2）： 在一个周期内只有有限个不连续点 在一个周期内只有有限个极值点(注：函数连续是条件 1、2 的充分非必要条件) 周期内绝对可积：积分$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |f(t)| \mathrm{d}t$ 存在 则$f(t)$可展开为如下的傅里叶级数： $$ f(t)=\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos{n\omega_0 t}+b_n\sin{n \omega_0 t}) $$式中，系数$a_n$和$b_n$由欧拉—傅里叶系数公式给出，其中$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$称为角频率。 $$ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=0,1,2,\dots,\infty $$$$ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=1,2,\dots,\infty $$推导3：分别对$f(x),f(x)\cos kx, f(x)\sin kx$在周期$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上积分。 ...