The dynamic version of figures in our paper Singleton-free fencing control of unknown maneuver target are presented below. Fig. 4 Fig. 6 (a) Fig. 6 (b)

控制理论中的分离原理 （一）线性系统状态空间模型下的分离 系统模型 考虑一个线性时不变系统，其状态空间方程通常表示为： $\dot{x}=Ax + Bu$（连续时间系统状态方程，其中$x$是状态向量，$A$是系统矩阵，$B$是输入矩阵，$u$是输入向量） $y = Cx+Du$（系统输出方程，$C$是输出矩阵，$D$是前馈矩阵） 观测器设计与分离 当系统状态$x$不能全部直接测量时，需要设计观测器来估计状态。全阶观测器的方程为： $\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x})$（其中$\hat{x}$是估计的状态向量，$L$是观测器增益矩阵） 定义状态估计误差$e=x - \hat{x}$，对其求导可得： $\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}=(Ax + Bu)-(A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x}))$ 因为$y = Cx+Du$，代入上式化简得： $\dot{e}=(A - LC)e$ 这里通过定义误差将系统真实状态和估计状态分离开来。通过选择合适的观测器增益$L$，可以使误差系统渐近稳定，即$\lim_{t\rightarrow\infty}e(t) = 0$。这样就实现了在状态估计过程中，将状态估计问题和系统状态本身的动态特性分离开来进行分析。 （二）使用高增益观测器的非线性系统的分离原理 以下为Nonlinear Systems 第14.5.2节呈现的高增益观测器。 假设$\dot\chi = f(\chi)$的原点是渐近稳定的，并且$\mathcal{R}$是它的吸引域。 令$\mathcal{S}$为$\mathcal{R}$内部的任意紧集，且令$\mathcal{Q}$为$\mathbb{R}^\rho$的任意紧子集。 那么，给定任意的$\mu > 0$，存在依赖于$\mu$的$\varepsilon^* > 0$以及$T^* > 0$，使得对于每一个满足$0 < \varepsilon \leq \varepsilon^*$的$\varepsilon$，闭环系统以$\mathcal{S} \times \mathcal{Q}$内为起始点的解$(\chi(t), \hat{x}(t))$对于所有$t \geq 0$都是有界的，并且满足 $$ \|\chi(t)\| \leq \mu \text{ 且 } \|\hat{x}(t)\| \leq \mu, \quad \forall t \geq T^* $$$$ \|\chi(t) - \chi_r(t)\| \leq \mu, \forall t \geq 0 $$ 其中$\chi_r$是从$\chi(0)$出发的$\dot\chi = f(\chi)$的解。 ...

前文已经说明了在考虑非连续的向量场的时候，classical解具有非常大的局限性。 为了处理微分方程的不连续部分， 我们首先放宽解必须始终沿着向量场方向的要求。 数学中对应的就是绝对连续的Caratheodory解。 Caratheodory解不足以保证解的存在性。 由于向量场的非连续性， 他的值在任意靠近一个点的时候可能表现出显著的振荡。 这种不匹配可能导致无法构造一个Caratheodory解。 Filippov解的思路是不再只考虑向量场上的各个点， 而是考虑向量场上各个点邻域。 Caratheodory解 数学定义 考虑微分方程： $$ \dot{x}(t)=X(x(t)),\quad x(0)=x_0. \tag{10} $$微分方程(10) 的定义在$[0,t_1]\subset \mathbb{R}$的Caratheodory解是一个绝对连续映射。 该映射在几乎(almost)所有时间$t\in [0,t_1]$上满足微分方程(10)。 这里说的“几乎”是在Lebesgue测度的意义上的。 也就是说，Caratheodory解只在Lebesgue测度为0的时刻集合上没有沿着向量场的方向。 也可以等价地说，Caratheodory解是满足微分方程(10)的Lebesgue积分形式(16)的绝对连续解。 $$ x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^t X(x(s)) ds,\quad t>t_0 \tag{16} $$当然，所有的classical解都是Caratheodory解。 Example 9: 具有Caratheodory解，但是没有classical 解的系统 $$ X(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\ \frac{1}{2}, & x=0,\\ -1, & x<0\\ \end{cases} $$ 该系统由两个从$x(0)=0$出发的Caratheodory解，分别是 $x_1(t)=t,t\in [0,\infty)$和$x_1(t)=-t,t\in [0,\infty)$。 这两个解在$t=0$时，都不满足向量场，也就是 $\dot{x}_1(0) \neq X(x_1(0))$ 和 $\dot{x}_2(0) \neq X(x_2(0))$ 。 然而，可以找到很多不接受Caratheodory解的系统，这其中一些可以用Filippov解理解。 Example 9: 不具有Caratheodory解的系统 ...

非线性动态系统理论是滑模控制的重要理论基础，也是我学习滑模的最大障碍。 我决定花一些时间从工科本科数学知识出发整理非线性动态系统中的一些概念。 这篇笔记主要回顾连续性的定义，同时介绍传统的连续可微的classical解在应对非连续系统时存在性与唯一性的缺陷。 前言 最近在看滑模控制的文章，其中对于非连续系统的论述多有不解，比如如下Filippov微分包含到底是什么， 结合一下材料，打算整理一下所学内容 定义 2.2 A $\dot{x}\in F(x), x\in R^n$, is called a Filippov differential inclusion 当一个向量场（vector-set field）$F(x)$具有如下性质的时候， 称一个微分包含（differential inclusion） noempty 非空, closed+locally bounded=compact 紧集（有界闭集）, convex 图集, and the set-value map $F$ is upper-semi-continuous(the maximal distance of the point of $F(x)$ and $F(y)$vanishes when $x\to y$).Solutions are defined as absolutely continuous functions of time satisfying the inclusion almost everywhere. Filippov 微分包含的解的所有广为人知的性质(existence,extendability etc)但是不包含唯一性(uniqueness) 知乎讨论：请问filippov解大概是什么意思？是怎么定义的？有什么作用？ https://www.zhihu.com/question/55951952 主要是翻译的这个文献：CORTES J. Discontinuous dynamical systems[J/OL]. IEEE Control Systems Magazine, 2008, 28(3): 36-73. DOI:10.1109/MCS.2008.919306. HAN Z, CAI X, HUANG J. Theory of control systems described by differential inclusions[M/OL]. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2016[2023-12-17]. http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-49245-1. DOI:10.1007/978-3-662-49245-1. 回顾：经典非线性系统解的条件 经典非线性系统的解存在性和唯一性需要微分方程右端Lipschitz连续， 一个使用较多的数学表述是khalil的非线性控制的引理1.3： ...

老师的讲课视频在 B 站BV1nB4y137j9。 主要分为数学基础、局部最优化问题求解和全局局部最优化问题，只讲了局部的部分。 绪论 单变量优化问题——线搜索 黄金分割法 多变量优化问题 梯度法 共轭梯度法 牛顿法 拟牛顿法 约束优化问题 约束问题的最优性条件 可行方向法 梯度投影法、简约梯度法 罚函数法 乘子法 绪论 优化问题的表述：在一定的约束下，调整一组可变参数 x，使设计目标 f(x)达到最小值（或最大值）。 数学表述可以表示为： $$ min\ f(\vec{x})\ s.t.\ \vec{x} \in K $$ s.t. 是数学中 subject to (such that) 的缩写，表示受约束的意思 $f(\vec{x})$ 是目标函数（实值函数） $\vec{x}$为参数向量，$K$为可行域，即参数能够许可的取值范围 进而可以将最优化问题细分为： 线性规划和非线性规划问题：可行集是有限维向量空间的子集 组合优化或网络规划：可行集中的元素是离散的 动态规划：可行集是一个依赖时间的决策序列 最优控制：可行集是无穷维空间中的一个连续子集 线性最优化问题（线性函数，线性约束）的情况，最有情况出现在端点。 课程考虑非线性规划/优化： $$ \begin{aligned} & min\ f(\vec{x}) \\ \ s.t.\ & h_i(\vec{x})=0,i=1,\dots,l, \\ & g_i(\vec{x})<0,i=1,\dots m, \\ \end{aligned} $$最优化问题求解的一般思路 无约束问题的一般算法框架： step 0 = 给定初始化参数及初始迭代点$x_0$, 置$k:=0$ step 1 = 若$x_k$满足某种终止准则，停止迭代，以$x_k$作为极小点 step 2 = 通过求解$x_k$处的某个子问题确定下降方向$x_k$ step 3 = 通过某种搜索方式确定步长因子$\alpha_k$，使得$f(x_k+\alpha_k d_k)<f(x_k)$ step 4 = 令$x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$，$k:=k+1$，转步 1 最优化问题的数学基础 线性代数 线性代数的核心内容是 $Ax=b$ 线性代数方程组解的存在性问题，以及如何求解他的问题， 以及这样的数学结构的问题。 ...