控制理论中的分离原理

（一）线性系统状态空间模型下的分离

  1. 系统模型
    • 考虑一个线性时不变系统，其状态空间方程通常表示为：
      • $\dot{x}=Ax + Bu$（连续时间系统状态方程，其中$x$是状态向量，$A$是系统矩阵，$B$是输入矩阵，$u$是输入向量）
      • $y = Cx+Du$（系统输出方程，$C$是输出矩阵，$D$是前馈矩阵）
  2. 观测器设计与分离
    • 当系统状态$x$不能全部直接测量时，需要设计观测器来估计状态。全阶观测器的方程为：
      • $\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x})$（其中$\hat{x}$是估计的状态向量，$L$是观测器增益矩阵）
    • 定义状态估计误差$e=x - \hat{x}$，对其求导可得：
      • $\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}=(Ax + Bu)-(A\hat{x}+Bu + L(y - C\hat{x}))$
      • 因为$y = Cx+Du$，代入上式化简得：
      • $\dot{e}=(A - LC)e$
    • 这里通过定义误差将系统真实状态和估计状态分离开来。通过选择合适的观测器增益$L$，可以使误差系统渐近稳定，即$\lim_{t\rightarrow\infty}e(t) = 0$。这样就实现了在状态估计过程中，将状态估计问题和系统状态本身的动态特性分离开来进行分析。

（二）使用高增益观测器的非线性系统的分离原理

以下为Nonlinear Systems 第14.5.2节呈现的高增益观测器。

假设$\dot\chi = f(\chi)$的原点是渐近稳定的，并且$\mathcal{R}$是它的吸引域。 令$\mathcal{S}$为$\mathcal{R}$内部的任意紧集，且令$\mathcal{Q}$为$\mathbb{R}^\rho$的任意紧子集。 那么，给定任意的$\mu > 0$，存在依赖于$\mu$的$\varepsilon^* > 0$以及$T^* > 0$，使得对于每一个满足$0 < \varepsilon \leq \varepsilon^*$的$\varepsilon$，闭环系统以$\mathcal{S} \times \mathcal{Q}$内为起始点的解$(\chi(t), \hat{x}(t))$对于所有$t \geq 0$都是有界的，并且满足

$$ \|\chi(t)\| \leq \mu \text{ 且 } \|\hat{x}(t)\| \leq \mu, \quad \forall t \geq T^* $$$$ \|\chi(t) - \chi_r(t)\| \leq \mu, \forall t \geq 0 $$

其中$\chi_r$是从$\chi(0)$出发的$\dot\chi = f(\chi)$的解。

如果$\dot\chi = f(\chi)$的原点是指数稳定的，那么闭环系统的原点也是指数稳定的，并且$\mathcal{S} \times \mathcal{Q}$是其吸引域的一个子集。

（三）非线性系统的分离原理

通常来说，在非线性控制系统中传统的分离原则不能直接成立，需要输入到状态稳定（ISS）特性（或者说对于整个系统而言在某种程度上与之等价的李雅普诺夫函数）。

更确切地讲，设$x$为被控对象的状态，$\hat{x}$为观测器的状态（为简便起见，采用相同的坐标表示）：

  • $\dot{x} = f(x,u)$（$x$的导数等于关于$x$、$u$的函数$f$，表示系统状态的变化率与系统状态$x$以及输入$u$有关）
  • $\dot{\hat{x}} = f(\hat{x},u) + k(y - h(\hat{x}))$（$\hat{x}$的导数等于关于$\hat{x}$、$u$的函数$f$加上一个反馈项，该项与输出$y$、关于$\hat{x}$的函数$h$以及增益$k$有关，体现了观测器状态的变化情况）
  • $u = \alpha(\hat{x})$（输入$u$是关于观测器状态$\hat{x}$的函数$\alpha$）

通常你需要构建一个关于$x$以及$\hat{x}-x$的李雅普诺夫函数，以此来证明整体的收敛性。

请注意，你可以采用两种不同的方法：

方法1

  • 将$x$和$e = \hat{x}- x$视作一组坐标，进而可得：
    • $\dot{x} = f(x, \alpha(x + e))$（$x$的导数等于关于$x$以及$\alpha(x + e)$的函数$f$）
    • $\dot{e} = \Delta f (x,e) - k(\Delta h(x,e))$（$e$的导数等于关于$x$、$e$的函数$\Delta f$减去一个与$\Delta h(x,e)$以及增益$k$有关的项）
  • 证明利用李雅普诺夫函数$W = V(x) + U(e)$，$(x,e)$可收敛至零。

方法2

  • 将$\hat{x}$和$e = \hat{x} - e$视作一组坐标，进而可得：
    • $\dot{\hat{x}} = f(\hat{x}, \alpha(\hat{x})) + k(h(e))$（$\hat{x}$的导数等于关于$\hat{x}$、$\alpha(\hat{x})$的函数$f$再加上一个与$h(e)$以及增益$k$有关的项）
    • $\dot{e} = \Delta f (x,e) - k(\Delta h(x,e))$（$e$的导数等于关于$x$、$e$的函数$\Delta f$减去一个与$\Delta h(x,e)$以及增益$k$有关的项）
  • 证明利用李雅普诺夫函数$W = V(\hat{x}) + U(e)$，$(\hat{x}, e)$可收敛至零。

在这两种情况下，你都有一个会受到误差$e$影响的标称动力学系统，并且你需要具备某些输入到状态稳定（ISS）特性。

然而，在第一种情况中，你需要针对进入反馈$\alpha$内部的信号具备这样的ISS特性：

  • $\dot{x} = f(x, \alpha(x + e))$

而在第二种情况中，你需要针对进入向量场外部的量具备ISS特性，即：

  • $\dot{\hat{x}} = f(\hat{x}, \alpha(\hat{x})) + v$
  • $v = k(h(e))$

并且从控制设计的角度来看，第二种特性通常更容易保证。

致谢

编写过程中参考了：