四、单级倒立摆的LQR状态调节器设计（选做）

有一个倒立摆小车系统如图一所示。它由质量为M的小车，长为2L的倒立摆构成，倒立摆的质量为m，铰链在小车上，小车在控制函数u的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。

为了简单起见，设倒立摆为均匀细杆，执行机构和轴无摩擦，此时系统的动力学非线性微分方程为：

其中，M = 1kg，m = 0.1kg，L = 1m，g = 9.81m/s2，f = 50N/s。

M=1;m=0.1;L=1;g=9.81;f=50;

现设计LQR控制器，使系统倒立摆在如下初始条件下稳定。

[x(0), dx(0), j(0), dj(0)]T = [0.05, 0, 0.08, 0]T

x0=[0.05 0 0.08 0]';

注：倒立摆偏角j可以通过同轴旋转电位计送出正比j的电信号。

4.1 推导状态空间方程

选取状态

考虑到在平衡位置可以使用近似条件

,并忽略

项可得：

%使用Symbolic Math Toolbox计算状态方程系数

syms x phi xdot phidot u;

sinphi=phi;

sin2phi=2*phi;

cosphi=1;

cos2phi=1;

xdotdot=(m*(L*phidot*sinphi-3/8*g*sin2phi)-f*xdot/g+u)/(M+m*(1-3/4*cos2phi))

xdotdot =

phidotdot=3/(4*L)*(g*sinphi-xdotdot*cosphi)

phidotdot =

ff0=[coeffs(xdotdot);coeffs(phidotdot)];

ff=double(ff0);

A=[0 1 0 0;

0,ff(1,1),ff(1,3) 0;

0 0 0 1;

0 ff(2,1),ff(2,3) 0];

B=[0;ff(1,2);0;ff(1,2)];

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0;0];

G=ss(A,B,C,D);

4.2 线性系统二次型最优控制律

使用线性系统二次型最优控制率设计控制律

%使用Control System Toolbox进行线性系统二次型最优控制律
Q=diag([1,1,1,1]);
R=1;
N=zeros(size(Q,1),size(R,2));
K=lqr(A,B,Q,R)%u=-K*x
K = 1×4
   -1.0000    1.8467   11.6020    4.3004
Ac=A-B*K;
G2=ss(Ac,B,C,D);

4.3 性能分析

specs={'r','g','b','y'};
label={'$x$','$\dot{x}$','$\varphi$','$\dot{\varphi}$'};

零输入条件下，初始状态作用的状态和输出响应曲线如下，

从图中可以看出原系统无法达到稳定，而使用线性二次型最优控制后，系统可以迅速达到稳定状态

figure()

hold on;

Tfinal=8;

[~,t,x]=initial(G,x0,Tfinal);

[~,t2,x2]=initial(G2,x0,Tfinal);

for i=1:size(x,2)

plot(t,x(:,i),strcat(specs{i},'--'),'DisplayName',strcat('former-',label{i}))

end

for i=1:size(x,2)

plot(t2,x2(:,i),specs{i},'DisplayName',strcat('optimized-',label{i}))

end

title('最优控制率下，零输入系统状态响应曲线与原系统比较');

grid;legend('Interpreter',"latex");

ylim([-0.2,0.2]);

hold off

零初始条件下，状态和输出的冲激响应曲线如下，也有和零输入响应类似的结论

figure()

hold on;

Tfinal=12;

[y,t,x]=impulse(G,Tfinal);

[y2,t2,x2]=impulse(G2,Tfinal);

specs={'r','g','b','y'};

for i=1:size(x,2)

plot(t,x(:,i),strcat(specs{i},'--'),'DisplayName',strcat('former-',label{i}))

end

for i=1:size(x,2)

plot(t2,x2(:,i),specs{i},'DisplayName',strcat('optimized-',label{i}))

end

title('最优控制率下零状态条件下，冲激响应曲线与原系统比较');

grid;legend('Interpreter',"latex");

ylim([-0.5,1.5]);

hold off

4.4 参考链接

https://ww2.mathworks.cn/products/symbolic.html
https://ww2.mathworks.cn/products/control.html