最小拍控制系统

采样周期为T=0.1s

T=0.1;
G=zpk([],[0 -1],5);
display(G)
G =
 
     5
  -------
  s (s+1)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

一、最小拍有纹波系统

针对图一所示的计算机控制系统,考虑输入为单位速度信号时，进行计算机控制算法D(Z)设计，编程实现最小拍有纹波系统；

1.1该系统的广义脉冲传递函数为：

Wd=c2d(G,T,'zoh');
%Wd的零极点
[zero,pole,~]=zpkdata(Wd);
zero=zero{1};pole=pole{1};
Wd.variable='z^-1';
display(Wd);
Wd =
 
  0.024187 z^-1 (1+0.9672z^-1)
  ----------------------------
    (1-z^-1) (1-0.9048z^-1)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

1.2有纹波最小拍系统的闭环传递函数及数字控制器的脉冲传递函数

从结果可以看出，广义脉冲传递函数没有不稳定的零极点，没有纯滞后环节，系统稳定，可以使用对简单对象的最小拍控制的设计方法。

由于输入为单位速度信号

,查表5.1[2]得

z=tf('z',T);
We=(1-z^-1)^2;
WB=1-We;
WB=minreal(WB)
WB =
 
  2 z - 1
  -------
    z^2
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
D=WB/(Wd*(1-WB));
D=minreal(D)
D =
 
  82.689 (1-0.5z^-1) (1-0.9048z^-1)
  ---------------------------------
       (1+0.9672z^-1) (1-z^-1)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

1.3分析数字控制器D(z)对系统的控制效果

当控制型号为单位速度信号时，需要两排达到想要的控制效果

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

lsimplot(WB/Wd,0:0.1:1,0:0.1:1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2);

lsimplot(WB,0:0.1:1,0:0.1:1);

grid on;

ylabel('y(t)');

当控制信号为单位阶跃信号时，需要两拍达到控制效果

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

stepplot(WB/Wd,1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2)

stepplot(WB,1);

ylabel('y(t)');

当控制信号为单位脉冲信号时，需要三拍达到目标控制效果

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

impulseplot(WB/Wd,1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2);

impulseplot(WB,1);

ylabel('y(t)');

1.4 纹波情况

通过simulink仿真可以看到明显的纹波

%run simulink

simOut = sim('withPattern.slx','SaveOutput','on','OutputSaveName','yout','SaveFormat', 'Dataset');

%get data

outputs = simOut.get('yout');

r = (outputs.get('r').Values);

y = (outputs.get('y').Values);

figure();hold on;

plot(r);plot(y);

legend('r(t)','y(t)');

title('simulink 仿真结果')

grid on;

hold off;

二、最小拍无纹波系统

讨论纹波的生成原因，编程实现最小拍无纹波系统；

2.0 纹波形成的原因

如果系统进入稳态后，加在被控对象上的控制信号还在波动，则稳态过程中系统输出就有纹波

2.1 计算所需的闭环传递函数

最小拍无纹波控制必须满足以下条件

被控对象W(s)中必须包含足够多的积分环节(>=m-1阶)，输入单位阶跃信号时为m=1
满足纹波控制的稳定性和控制器的物理可实现
包含W(z)中的所有零点

beta=-1*zero(1);
%from blue book p149
f1=(2+3*beta)/(1+beta)^2;
f2=-1*(1+2*beta)/(1+beta)^2;
WB2=(f1*z^(-1)+f2*z^(-2))*(1+beta*z^(-1))
WB2 =
 
  1.267 z^3 + 0.4668 z^2 - 0.7334 z
  ---------------------------------
                 z^4
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

2.2数字控制器D的计算

D2=1/Wd*WB2/(1-WB2);
D2=minreal(D2)
D2 =
 
  52.367 (1-0.9048z^-1) (1-0.5987z^-1)
  ------------------------------------
        (1+0.7334z^-1) (1-z^-1)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

2.3 性能分析

当输入为单位速度信号时，需要三拍实现所需的控制效果。

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1);

hold on;

stairs(t,y);

plot(t,r);

ylabel('y(t)');

subplot(1,2,2)

stairs(t,r-y)

ylabel('e(t)');

2.4 纹波情况

使用simulink模拟

%run simulink

simOut = sim('noPattern.slx','SaveOutput','on','OutputSaveName','yout','SaveFormat', 'Dataset');

%get data

outputs = simOut.get('yout');

r = (outputs.get('r').Values);

y = (outputs.get('y').Values);

figure();hold on;

plot(r);plot(y);

legend('r(t)','y(t)');

title('simulink 仿真结果')

grid on;

hold off;

三、改进最小拍系统

讨论最小拍系统的特点，采取惯性因子法对最小拍控制器加以改进，并研究惯性因子对系统性能的影响。

c=0.45;

3.1 设计闭环传递函数

脉冲闭环传递函数可以设计为：

其中f1和f2通过以下条件得出

%from blue book P151
f1=2-c;f2=-1;
WB3=(f1*z^(-1)+f2*z^(-2))/(1-c*z^(-1))
WB3 =
 
  1.55 z^3 - z^2
  --------------
  z^4 - 0.45 z^3
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
We3=1-WB3;
D3=1/Wd*WB3/We3;
D3=minreal(D3)
D3 =
 
  64.084 (1-z^-1) (1-0.9048z^-1) (1-0.6452z^-1) (1-0.45z^-1)
  ----------------------------------------------------------
            (1+0.9672z^-1) (1-z^-1)^2 (1-0.45z^-1)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

当控制型号为单位速度信号时

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

lsimplot(WB3/Wd,0:0.1:1,0:0.1:1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2);

lsimplot(WB3,0:0.1:1,0:0.1:1);

grid on;

ylabel('y(t)');

当控制信号为单位阶跃信号时：

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

stepplot(WB3/Wd,1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2)

stepplot(WB3,1);

ylabel('y(t)');

当控制信号为单位脉冲信号时

figure('position',[0,0,700,300]);

subplot(1,2,1)

impulseplot(WB3/Wd,1);

ylabel('u(t)');

subplot(1,2,2);

impulseplot(WB3,1);

ylabel('y(t)');

三、分析惯性因子对系统性能的影响

绘制不同c取值下的输出阶跃响应图和系统主要性能参数表

figure();

hold on;

C=0.1:0.2:0.9;

N=length(C);

%预分配内存

info=repmat(stepinfo(tf(1,1)),[N 1]);

for i=1:N

c=C(i);

f1=2-c;f2=-1;

WB3=tf([f1 f2],[1 -c 0],T);

We3=1-WB3;

D3=1/Wd*WB3/We3;

stepplot(WB3,1);

info(i)=stepinfo(WB3);

ylabel('y(t)');

end

n4 = length(C);

tmp4 = cell(n4,1);

for i4 = 1:n4

tmp4{i4} = sprintf('c=%g',C(i4));

end

legend(tmp4);

hold off;

info=struct2table(orderfields(info,[5,2,1,3,4,7,8,6]),'RowNames',tmp4);

display(info);

info = 5×8 table 

	Overshoot	SettlingTime	SettlingMin	SettlingMax	Peak	PeakTime
1 c=0.1	90.0000	0.3000	1.0000	1.9000	1.9000	0.1000
2 c=0.3	70.0000	0.4000	1.0000	1.7000	1.7000	0.1000
3 c=0.5	50.0000	0.6000	1.0000	1.5000	1.5000	0.1000
4 c=0.7	30.0000	0.9000	1.0000	1.3000	1.3000	0.1000
5 c=0.9	10.0000	1.7000	1.0000	1.1000	1.1000	0.1000

观察以上结果可知，当输入为阶跃信号时，选取的附加极点（阻尼因子）c越大，超调量越小。

参考文献

https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-21697-8_21
刘建昌.计算机控制系统（第二版）.2016,137
P137 例5.1
P148 例5.6
P151 例5.7