实验二线性系统二次型最优控制律

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一、实验目的

掌握二次线性最优控制律设计方法；
了解MATLAB中的相应函数。

二、实验要求

控制系统如下图所示

状态初值为

性能指标为

求：

系统的最优控制率及最优性能指标；
绘制最优控制率下的系统状态响应曲线。

三、实验内容及结果分析

3.1 系统的最优控制率及最优性能指标

从结构框图可以得出系统的状态方程如下：

A=[0 1; 0 0];
B=[0 ; 1];
C=[1 0];
D=zeros(1,1);
G=ss(A,B,C,D);
x0=[1 2]';
Sc=ctrb(A,B);
So=obsv(A,C);
if rank(Sc) == length(A)
    disp('controllable')
end
controllable
if rank(So) == length(A)
    disp('Observable')
end
Observable

性能指标在MATLAB中使用的形式为

于是有可以通过lqr命令求解最优控制率为：

Q=1*[1 0;0 0];
R=1;
N=zeros(size(x0',2),1);%N也可以直接使用零
%computes the unique solution X of the continuous-time algebraic Riccati equation
[P,l,g]=care(A,B,Q,R);%可以使用该命令计算矩阵P，与下一个命令的S相同
[K,S,~] = lqr(G,Q,R,N);
display(K);
K = 1×2
    1.0000    1.4142

最优性能指标为：

J_star=1/2*x0'*S*x0
J_star = 5.5355

3.2 绘制最优控制率下的系统状态响应曲线

Ac=A-B*K;
Bc=zeros(size(B));
G2=ss(Ac,Bc,C,D);

状态响应曲线及与原系统状态响应的对比图如下，从图中可以看出，原系统在零输入条件下无法稳定，而使用线性二次型优化控制后，系统很快就能到达平衡位置而保持稳定

Tfinal=10;

[~,t,x]=initial(G,x0,Tfinal);

[~,t2,x2]=initial(G2,x0,Tfinal);

figure()

hold on;

plot(t,x(:,1),'r--','displayName','原系统 x1=y');

plot(t,x(:,2),'b--','DisplayName','原系统 x2');

plot(t2,x2(:,1),'r','DisplayName','优化后 x1=y');

plot(t2,x2(:,2),'b','DisplayName','优化后 x2');

u=-K*x2';

plot(t2,u,'g','DisplayName','优化后 u');

title('优化后系统与原系统状态响应曲线比较');

grid;

legend;

ylim([-5,10]);

hold off

3.3 参考链接

Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design.Copyright F (uta.edu)
Matlab lqr指令帮助.https://www.mathworks.com/help/releases/R2021a/control/ref/lqr.html

实验二 线性系统二次型最优控制律