📶 三大变换的数学推导过程

$\mathscr{F,L,Z}$ 傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换这三大变换讨论广泛¹。个人理解，这三个变换都是为了简化一些难以在时间域分析的问题而引入的。

• 拉普拉斯变换是对傅里叶变换的推广，忽略了时域信号时间为负的部分，使得变换也可以适用于$t\rightarrow +\infty$ 不为零的信号
• Z 变换是拉普拉斯变换针对离散信号的简化，使得表达式更加便于分析

	傅里叶变换	拉普拉斯变换	$Z$ 变换
表达式	$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} t$	$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$	$F(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$
适用范围	狄利克雷条件	狄利克雷条件的前两条	前者+（时间）离散
变换域	频域	复(频)域	$Z$ 域
对应系统模型	频率特性	传递函数	脉冲传递函数

数学演变过程

周期函数的傅里叶级数

周期为 T 的任一周期函数$f(t)$ ，若满足下列狄利克雷条件(Dirichlet conditions²）：

1. 在一个周期内只有有限个不连续点
2. 在一个周期内只有有限个极值点(注：函数连续是条件 1、2 的充分非必要条件)
3. 周期内绝对可积：积分$\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |f(t)| \mathrm{d}t$ 存在

则$f(t)$ 可展开为如下的傅里叶级数：

$$f(t)=\frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos{n\omega_0 t}+b_n\sin{n \omega_0 t})$$

式中，系数$a_n$ 和$b_n$ 由欧拉—傅里叶系数公式给出，其中$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ 称为角频率。

$$a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=0,1,2,\dots,\infty$$ $$b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{n \omega_0 t}\mathrm{d} t, n=1,2,\dots,\infty$$

推导³：分别对$f(x),f(x)\cos kx, f(x)\sin kx$ 在周期$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 上积分。

傅里叶级数的指数形式

周期函数$f(t)$ 的傅里叶级数还可以写成复数形式（指数形式）：

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \alpha _n e^{jn\omega_0 t}$$ $$\alpha_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d} t$$

推导：运用欧拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta + \sin \theta$

非周期函数的傅里叶积分式子

对于非周期函数，可以认为周期$T\rightarrow \infty$ ，此时$\omega_ 0=\frac{2\pi}{T}\rightarrow 0$ ，为了方便讨论可以将$n\omega_0$ 记为$\omega$ ，$\Delta \omega=(n+1)\omega_0-n\omega_0=\omega_0$ ，那么傅里叶级数可以写成如下形式：

$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \alpha _n e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega, \alpha_n=\frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t$$

合并为

$$\begin{aligned} f(t)=&\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta\omega}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \\ =&\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \Delta \omega \\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} \mathrm{d} t\right] e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega \end{aligned}$$

将中括号中的内容记作$F(\omega)$ 即为傅里叶变换式。

傅里叶变换

对于非周期函数，如果满足狄利克雷条件（第三条相应改为$\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)| \mathrm{d}t$ ），可以进行傅里叶变换：

$$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d} t$$ $$f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega$$

拉普拉斯变换

狄利克雷条件的第三个可积条件，要求函数在$t\rightarrow \infty$ 时收敛，而现实中大量信号不满足该条件，为了解决该问题，引入衰减因子$e^{-\sigma t},\sigma>0$ ，并只考虑$t\ge 0$ 的部分⁴，这样函数$f(t)e^{-\sigma t}$ 在$t > 0$ 下便可以满足可积条件。

于是有：

$$F_\sigma(\omega) =\mathscr{F}[f(t)e^{-\sigma t}] =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}\mathrm{d} t$$

记$s=\sigma+j\omega$ ，$F(s)=F\_\sigma(\frac{s-\sigma}{j})=F_\sigma(\omega)$ ，并认为$t<0$ 时，函数为零，于是有：

$$F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$$ $$f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]= \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma + j\infty} f(t) e^{st} \mathrm{d} t$$

Z 变换

现实中的信号都可以认为是连续模拟信号，而处理时通常需要将其采样成离散信号。

通常记$f(t)$ 为连续信号， $f^\star(t)$ 为其对应的离散采样信号， 对于理想采样情况，采样信号可以表示为：

$$f^\star(t) =f(t)\times \sum\limits_{k=0}^{\infty}\delta(t-kT) =\sum\limits_{k=0}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT)$$

对采样后的离散信号，进行拉普拉斯变换

$$\begin{aligned} F^\star(s)&=\mathscr{L}\left[ f^\star(t)\right] =\int_0^\infty f^\star(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty} f(kT) e^{-skT}\\ \end{aligned}$$

可见 $F^\star(s)$ 是 s 的超越函数⁵（指数函数），难以使用分析。 故引入变量$z=e^{sT}$ ,$s=\frac{1}{T}lnz$

$$F(z)=F^\star(s)|\_{s=\frac{1}{T}lnz} =\sum\limits\_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$$

于是便得到 Z 变换的表达式（是 z 的幂函数）。