线性定常系统的重要特性引发的思考

女朋友在阅读胡寿松第六版《自动控制原理》时有一个困惑。为什么书中 P71 页表 3-2 中的阶跃信号1，求导之后消失了，而不是作为单位脉冲信号$\delta(t)$ 处理。难道这里的1视为常数，这样就与零初始条件矛盾了。

书中的表 3-2 一阶系统对典型输入信号的输出响应如下：

输入信号	输出响应
$1(t)$	$1-e^{-t/T}, t \ge 0$
$\delta(t)$	$\frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0$

书中由此得出线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对输入信号响应的导数。

也就是说第二行脉冲响应应该是第一行阶跃响应的导数，但是这里为什么1对应的导数$\delta(t)$ 没有了呢？

答：因为后面的指数项$e^{-t/T},t \ge 0$ ，在零初始条件下还需要乘以一个$u(t)$ ，根据求导的乘法公式求导之后会出现一个$\delta(t)$ ，从而相互抵消。

将阶跃响应写成如下形式：

$$1-e^{-t/T}(t \ge 0)=1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)$$

对阶跃响应求导：

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [&1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)] \\ =&\delta(t)- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{-t/T}1(t)] \\ =&\delta(t)- [\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-t/T}\times1(t)+e^{-t/T}\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 1(t)] \\ =&\delta(t) -[-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+e^{-t/T}\times \delta(t)] \\ =&\delta(t)- [-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+\delta(t)] \\ =&\frac{1}{T}e^{-t/T}\times1(t) \end{aligned}$$

结果即为$\frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0$ 。

一般化

已知线性定常系统的零初始条件下的阶跃响应为$h(t), t\ge 0$ ，求解系统传递函数.

拉式变换法

输入和输出的拉氏变换后的象函数分别为

$$R(s)=\frac{1}{s},C(s)=H(s)$$

于是传递函数可以写成：

$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=sH(s)$$

系统特性法

对输入输出分别进行求导：

$$r'(t)=\delta(t),c'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[h(t)]=h'(t)$$

对输出信号拉氏变换即为传递函数：

$$G(s)=\mathscr{L}[c'(t)]=sH(s)$$ $$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$$